общая топология — транзитивное действие дискретной группы на компакте

Транзитивное действие дискретной группы на компакте

Поскольку $ G $ счетно и $ G cdot x = X $ , мы имеем $ X $ счетно, компактно, хаусдорфово. Таким образом, по теореме Серпинского-Мазуркевича (это кажется излишним, но я не могу думать о каких-либо упрощениях на данный момент), $ X $ гомеоморфно $ omega ^ alpha cdot n 1 $ , где $ alpha 1 $ранг Кантора-Бендиксона $ X $ , а $ n geq 1 $ — мощность $ X ^ {( alpha)} $ .

Теперь нам нужно исключить $ alpha geq 1 $ . В таких случаях обратите внимание, что $ G $ может отображать только $ omega ^ alpha cdot m $ , $ m> 0 $ в другую точку $ omega ^ alpha cdot m ‘$ , $ m’> 0 $ , потому что каждая окрестность $ omega ^ alpha cdot m $ содержит гомеоморфную копию $ omega ^ alpha 1 $ . Таким образом, действие группы гомеоморфизмов (следовательно, $ G $ ) не транзитивно, если только $ alpha = 0 $ .

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
JavaScript & TypeScript
Adblock
detector